关于芝诺悖论的思考 - 好文

背景

最近在学习高等数学中微积分和极限的一些知识，我们知道数学在历史上一共经历了三次大危机。而第二次数学危机的导火索正是芝诺悖论。危机的萌芽出现在大约公元前450年，芝诺注意到由于对无限性的理解问题而产生的矛盾，提出了关于时空的有限与无限的四个悖论：“两分法”、“阿基里斯（《荷马史诗》中的善跑的英雄）追不上乌龟”、“飞矢不动”、“操场或游行队伍”。现在我们取其中之一来了解一下这些悖论是怎么”迷惑人心”的。

阿基里斯是古希腊神话中的跑步健将。假设他和乌龟赛跑，他的速度为乌龟的10倍，乌龟在其前面1000m处出发，他在后面追。芝诺可以证明，阿基里斯永远不可能追上乌龟！

当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，设所用的时间为t，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，他所用的时间为t/10，乌龟仍然前于他10米；当阿基里斯跑完下一个10米时，他所用的时间为t/100，乌龟仍然前于他1米……这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！

分析

以我们现在常识来看，阿基里斯肯定是能追上乌龟的，但是乍一看芝诺的推理仿佛很有道理，但实际上这个推理成立的前提条件是：时间和空间是可以无限分割的。因为芝诺将追赶的过程分成了无穷多个部分，到后来阿基里斯与乌龟的距离无穷小，追上这段距离所需的时间也无穷小。如果时空真能无限分割，那么他就永远也追不上。

说到这里你可能已经想到了，这个悖论正好和数学中的极限概念如出一辙。我们假设阿基里斯和乌龟相距s，阿基里斯速度为v1，乌龟速度为v2，把阿基里斯从一个起点开始跑并达到乌龟所留下的新起点的过程算作一次。我们把次数记为n，跑到新起点的时刻记为Tn，此时两点距离记为Dn。

因为阿基里斯速度远远大于乌龟，所以随着前进，Tn将会变得越来越小。结合极限的定义：如果当数列{Tn}的项数n无限增大时，它的一般项Tn无限接近于一个确定的常数a，则称a为数列{Tn}的极限。记作Tn
->a(a->∞)，结合上面例子我们知道数列{Tn}的极限可以记作：

也可以理解为当T趋于s/(v1-v2)时，两者距离趋于0，但始终不为0。只有s/(v1-v2)时刻才为0，但这个时刻不在悖论讨论的范围内，所以在悖论讨论的范围内，距离也不可能达到0。

小结

我们知道数学是一门非常严谨的语言，任何定理的证明都会加上一定的前提条件，在某一确定的领域内进行研究。极限的定义也是如此，前提条件是n无限增大。芝诺悖论的前提便是时间空间可以无限划分。研究范围已经确定是在阿基里斯还未追上乌龟的这段时间内。而现实世界里时间不会让你无限分割，它总会到达
“s/(v1-v2)”这个时间点。所以我们要做好时间管理，让自己能够在有限的时间里做到尽可能多的有价值的事情。

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