如何产生指定分布的随机数？ - 好文

参考：https://www.cnblogs.com/xingshansi/p/6539319.html
<https://www.cnblogs.com/xingshansi/p/6539319.html>；
　　　https://www.jianshu.com/p/3d30070932a8
<https://www.jianshu.com/p/3d30070932a8>；
　　　https://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/50615652
<https://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/50615652>；
　　　https://cosx.org/2015/06/generating-normal-distr-variates
<https://cosx.org/2015/06/generating-normal-distr-variates>。

常用方法：逆变换法和舍选法

1、逆变换法（反演法）

对任意随机变量ξξ，设其概率密度分布函数为P(x)P(x)，其积分分布函数为P(x)=∫x−∝p(z)dzP(x)=∫−∝xp(z)dz
，只要有均匀分布的另一随机变量θθ，则反函数ξ=F−1(θ)ξ=F−1(θ)即可得到，且ξξ一定服从P(x)P(x)分布。

逆变换法产生随机数的步骤：
①生成一个服从均匀分布的随机数U~Unit(0,1);
②设F(x)为指定分布的分布函数，则X=F−1（U）X=F−1（U）即为指定分布的随机数。
示例：生成满足λ=2的指数分布随机数。
分析：由f(x)f(x)得出F(x)F(x)—>F(x)=1−e−λxF(x)=1−e−λx，进而求得F(x)F(x)逆函数，得出X=F−1(u)=−1λln
(1−u)X=F−1(u)=−1λln⁡(1−u)
代码：
Len = 1000000; u = rand(1,Len); lemda = 2; x = -1/lemda*(log(1-u));

常见分布的生成函数：
(1)瑞利分布

Fr(x)=1−e−x2/(2σ2)Fr(x)=1−e−x2/(2σ2)⇒x=−2σ2ln(1−μ)−−−−−−−−−−−−√⇒x=−2σ2ln(1−μ)

(2)威布尔分布

Fw(x)=1−e−(x/λ)kFw(x)=1−e−(x/λ)k⇒x=λ[−ln(1−μ)]1/k⇒x=λ[−ln(1−μ)]1/k

(3)对数正态分布
　　由于对数正态分布的累积分布函数不存在解析式，因此不能直接给出其生成函数。若x服从对数正态分布，则有y=ln
x服从正态分布。根据这一思想，对应的随机序列仿真步骤如下：
步骤1：生成高斯序列y∼N(μ,σ2)y∼N(μ,σ2)。
步骤2：用x=F−1(y)=exp(y)x=F−1(y)=exp(y)即可得到对数正态分布序列。

(4)K分布

　　由于K分布的累积分布函数没有解析式，故不能采用逆变换法生成随机数。由于K分布把杂波看作是功率收一随机过程调制的复高斯过程，可以用两个独立的、具有不同相关时间随机变量的乘积形式来描述其幅度统计特性。K分布随机序列可通过以下两步得到：
步骤1：生成瑞利分布序列G(n)和伽马分布随机序列S(n)；
步骤2：利用公式z(n)=S(n)−−−−√G(n)z(n)=S(n)G(n)生成K分布序列。

2、舍选法

舍选法基本思想是利用拒绝采样，通过设定一个程序可抽样的分布q(x)比如正态分布等等，然后按照一定的方法拒绝某些样本，达到接近p(x)分布的目的。

红色的是p(z),
蓝色的是q(z)，我们对q(z)乘一个参数k，让k能正好包住p(z)，那么对于每一个从q(z)得到的样本z0，我们有一定的概率接受它，概率的大小就是p(z0)
/
kq(z0)。很容易就能看出来，在p(z)和kq(z)相切的地方的采样，接受率就是1。那么有人问了，接受率能计算出来，但是我们对于一个样本z0，到底怎么判断是接受还是不接受啊？我们有u~Uniform[0,1]，对于每一个样本z0，我们一个u0，如果u0
<= p(z0) / kq(z0)，我们就接受，否则就拒绝。重复此过程，得到的样本就服从分布p(z)。
步骤：
①产生样本z0∈q(z)z0∈q(z)和u0∈uniform[0,1]u0∈uniform[0,1]
②若u0≤p(z0)/kq(z0)u0≤p(z0)/kq(z0)，则接受z0z0
③重复上述过程
④接受的样本服从p(z)p(z)分布
例子：对截断正态分布采样如下图

程序：
clear k = normpdf(4.0/3,1,1)/normpdf(4.0/3,0,2); N = 50000; a = []; for i=1:N
accept =0; while accept==0 u = rand(); z = normrnd(0,2); %产生随机数，满足正态分布 %判定条件 if
z<=4 && z>=0 && u<=normpdf(z,1,1)/(k*normpdf(z,0,2)) accept = 1; a = [a;z]; end
end end %显示结果 hist(a,5000)
结果：

热门工具换一换