码农眼中的数学之～数学基础 - 好文

写在前面：文章里面的图片公式都是逆天一个个打出来画出来的，公式系列基本上都提供了源码

图片基本上不太加水印了，加了的也留了空间可以让你裁剪去水印，这样你引用也比较方便～

但是还是想说下：”加个参考链接呗，逆天写作也不容易啊～“

在线预览：http://github.lesschina.com/python/ai/math/数学基础.html
<http://github.lesschina.com/python/ai/math/数学基础.html>

1.基础概念¶ <https://www.cnblogs.com/dotnetcrazy/p/9294292.html#1.基础概念>

线性代数研究的是什么内容？

* 把2维世界转换成2维的世界
* 把3维世界转换成2维的世界
* 把2维世界转换成3维的世界
1维直线、2维平面（长宽）、3维空间（长宽高 | xyz轴）、4维时空（xyz轴+时间轴）

学习中主要就是学习矩阵、向量等，理解线性映射、特征值和特征向量等。

总结：线性代数就是一门将M维世界与N维世界联系起来的学科

1.1.数的分类¶ <https://www.cnblogs.com/dotnetcrazy/p/9294292.html#1.1.数的分类>

一开始人们用的数都是自然数 <http://www.baike.com/wiki/自然数> (0、1、2...)来计算

后来发现用小数减大数就没法计算了。eg：1-2=?

接着就引入了负数，然后常用的数就变成了整数 <http://www.baike.com/wiki/整数> (正整数、0、负整数)，这样就可以快乐的加减乘运算

整数：

* 自然数
* 负数
后来发现，像1/3=?这类的不能整除了，于是就引入了分数，

这样数的界限又扩充了，就叫有理数 <http://www.baike.com/wiki/有理数> ，这样加减乘除都可以通过分数来表示了

有理数（分数）：

* 整数
* 正整数
* 0
* 负整数
好景不长，之后求圆面积啥的，又发现了像π、√3这类的，没法用分数表示的数，

于是就又在原有基础上扩展了，加入了无理数，数的界限又扩展了==> 实数 <http://www.baike.com/wiki/实数>

实数（小数）：

* 有理数（分数）
* 整数
* 正整数
* 0
* 负整数
* 非整数的有理数
* 无理数
这下总算可以了吧，可事实往往出乎意料，像二次曲线求解有无解的情况（曲线跟x轴不相交）

这太不科学了吧，然后就引入了虚数i 的概念，并定义i²=-1，数的范围又扩大了，就叫复数 <http://www.baike.com/wiki/复数>

举个例子(后面有推导)：

$$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}$$

以前我们遇到：x²+3=0，因为判别式b²-4ac<0 所以方程无解（或者曲线画出来，看跟x轴有几个交点==>就说明有几个解）

其实我们中学学的这个无解，指的是在实数范围内无解

引入虚数后：x²+3=0==> x²-(-3)=0，因为i²=-1 ==> (x+√3i)(x-√3i)=0 有解了
In [1]: # 画个图看看曲线长什么样 import matplotlib.pyplot as plt In [2]: # 生成x和y的值 x_list
= list(range(-10, 11)) y_list = [x**2 + 3 for x in x_list] # 2**3 ==> 8
**是Python里面的幂运算符 print(x_list) print(y_list) # 画图 plt.plot(x_list, y_list) #
显示图片 plt.show() [-10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9, 10] [103, 84, 67, 52, 39, 28, 19, 12, 7, 4, 3, 4, 7, 12, 19, 28,
39, 52, 67, 84, 103]
综上所述，数可以分为：

复数：z = a+bi，i² = -1

* 实数（虚部b=0）
* 有理数
* 整数
* 正整数：1、2、3
* 0
* 负整数：-1、-2、-3
* 非整数的有理数（[正负]分数）
* [正负]有限小数：0.3 ==> (3/10)
* [正负]循环小数：0.3333... (1/3)
* 无理数
* 无限不循环小数：π、√3
* 虚数（虚部b!=0）
* 纯虚数（虚部b!=0，且实部a=0）
* 非纯虚数
扩展：二次方程求解公式的推导¶
<https://www.cnblogs.com/dotnetcrazy/p/9294292.html#扩展：二次方程求解公式的推导>

这个应该是初中学的，很多学校教数学就让背公式，其实这样容易忘记（你好几年不接触数学公式还记得？）会推导才是根本：

其实不仅仅是数学公式了，很多程序中的算法也是这样，都是需要推导的，不然只能用而不能深究，就更不提创新了。不扯了，进入正题：

$\mathbf{ax^2+bx+c=0（a\neq0)}$

要求x，那我们先两边同时除以a：

$\mathbf{x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0}$

把和x没关系的常数移到等号另一边：

$\mathbf{x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}}$

看到左边就想到了 ==> $x^2+2ax+a^2$ 我们来凑一下：

$\mathbf{x^2+2*\frac{b}{2a}x+(\frac{b}{2a})^2=(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}}$

因为：$x^2+2ax+a^2=(x+a)^2$ 所以可以转换成：

$\mathbf{(x+\frac{b}{2a})^2=(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}}$

把右边化简一下：

$\mathbf{(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{4ac}{4a^2}=\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$

去左边平方（右边开根号）：

$\mathbf{x+\frac{b}{2a}=\frac{ \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

把左边的常数移过去：

$\mathbf{x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

方便有需求的人，推导过程的源码贴一下：
$ax^2+bx+c=0（a\neq0)$ 要求x，那我们先两边同时除以a： $x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$
把和x没关系的常数移到等号另一边： $x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$ 看到左边就想到了 ==> $x^2+2ax+a^2$
我们来凑一下： $x^2+2*\frac{b}{2a}x+(\frac{b}{2a})^2=(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}$
因为：$x^2+2ax+a^2=(x+a)^2$ 所以可以转换成：
$(x+\frac{b}{2a})^2=(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}$ 把右边化简一下：
$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{4ac}{4a^2}=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$
去左边平方（右边开根号）： $x+\frac{b}{2a}=\frac{ \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 把左边的常数移过去：
$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
1.2.命题相关¶ <https://www.cnblogs.com/dotnetcrazy/p/9294292.html#1.2.命题相关>

命题中学阶段就接触了，我们来先说说命题 <http://www.baike.com/wiki/命题> ：可以判断真假的语句叫做命题

比如：小明是个男的，这个不管对错肯定有个确定的答案

再比如：小明是活泼好学的孩子，这个就不一定了，公说公有理婆说婆有理，这种结果模糊不确定的就不是命题

充分条件和必要条件

这个时间长了容易混淆，举个例子：小明是人类，人类是小明

通过小明肯定能推出他是个人，这个就叫必要条件

人就一定是小明吗？不一定吧 ==> 这个就是充分条件

如果P成立，Q就成立是真命题时，就可以表示为：P=>Q （由P肯定能推导出Q）（eg：小明=>人）:

* P是Q的必要条件
* Q是P的充分条件
充分必要条件：

如果P=>Q，而且Q=>P，那么：

* P是Q的充分必要条件
* Q是P的充分必要条件
表示为：P<=>Q

1.3.集合系列¶ <https://www.cnblogs.com/dotnetcrazy/p/9294292.html#1.3.集合系列>

集合应该是刚上高中那会教的内容，我们来看看：

集合 <https://baike.baidu.com/item/集合> （Python里面用 set
<https://www.cnblogs.com/dotnetcrazy/p/9155310.html#7.集合Set> 来表示）：
某种特定性质的对象，汇总成的集体(人以类聚,物以群分) 这些对象称为该集合的元素。

集合中的元素有三个特征：

* 确定性（集合中的元素必须是确定的）
* 互异性（集合中的元素互不相同）eg：集合A={1，a}，则a不能等于1）
* 无序性（集合中的元素没有先后之分）eg：集合{3,4,5}和{3,5,4}是同一个集合
表示方式，eg：10以内的偶数：

* X = {0, 2, 4, 6, 8}
* X = {2n | n = 0, 1, 2, 3, 4}
当x是X集合里面的元素时，可以表示为：x ∈ X eg:2 ∈ X
In [3]: # Python3 Code X = set([x for x in range(10) if x%2==0]) print(X)
{0, 2, 4, 6, 8} In [4]: # 当x是X集合里面的元素时，可以表示为：x ∈ X # eg:2 ∈ X 2 in X Out[4]:
True
子集 <https://baike.baidu.com/item/子集> ：当一个集合A里面所有元素都属于集合B时，称A是B的子集。即：A ⊆ B

eg：集合A：{1,2,3} 集合B：{1,2,3,4} ==> A ⊆ B

如果两个集合A和B的元素完全相同，则称A与B两个集合相等，记为 A=B：

集合A：{1,2,3,4} 集合B：{1,2,3,4} ==> A ⊆ B and B ⊆ A ==> A = B

真子集 <https://baike.baidu.com/item/真子集> ：如果集合A是集合B的子集A ⊆ B
，并且集合B中至少有一个元素x∉A，那么集合A叫做集合B的真子集

简单讲：如果A包含于B,且A不等于B,就说集合A是集合B的真子集（A有的B全有，B有的A不一定有）

如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集。可知任一集合A是自身的子集，空集是任一集合的子集。真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等。所有亚洲国家组成的集合是地球上所有国家组成的集合的真子集；所有自然数的集合是所有整数的集合的真子集。
In [5]: A = set([1,2,3]) B = set([1,2,3,4]) print(A) print(B) {1, 2, 3} {1,
2, 3, 4} In [6]: # 子集（判断A是否是B的子集） A.issubset(B) Out[6]: True In [7]: #
父集（B是否是A的父集） B.issuperset(A) Out[7]: True In [8]: A = B A.issubset(B) Out[8]:
True
并集 <https://baike.baidu.com/item/并集> ：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，读作“A并B”（或“B并A”）
并集越并越多，而且没有重复元素。

记作A∪B or B∪A，即 A∪B={x|x∈A,或x∈B}

交集 <https://baike.baidu.com/item/交集> ：由属于A且属于B的相同元素组成的集合，读作“A交B”（或“B交A”）交集越交越少。

记作A∩B or B∩A，即 A∩B={x|x∈A,且x∈B}

若A包含B，则A∩B=B，A∪B=A

差集 <http://www.baike.com/wiki/差集>
：A，B是两个集合，所有x∈A且x∉B的元素构成的集合，叫做集合A减集合B（或集合A与集合B之差）

类似地，对于集合A、B，我们把集合 A-B={x∣x∈A,且x∉B} 叫做A与B的差集（把B中元素从A中减去）

补集 <https://baike.baidu.com/item/补集> ：一般指绝对补集，即一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（S包含于A）（大前提
），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做子集A在S中的绝对补集。

扩展：在集合论和数学的其他分支中，存在补集的两种定义：相对补集和绝对补集
In [9]: set1=set([1,2,5]) set2=set([2,4,6]) print(set1) print(set2) {1, 2,
5} {2, 4, 6} In [10]: # 交集 A∩B={x|x∈A,且x∈B} set1 & set2 Out[10]: {2} In [11]: #
并集 A∪B={x|x∈A,或x∈B} set1 | set2 Out[11]: {1, 2, 4, 5, 6} In [12]: # 差集
A-B={x∣x∈A,且x∉B} set1 - set2 Out[12]: {1, 5} In [13]: set3=set(list(range(10)))
print(set3) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} In [14]: #
【大前提】set2是set3的一个子集（set3包含于set2） set2.issubset(set3) Out[14]: True In [15]: #
这时候求差集，就等于求补集 set3 - set2 Out[15]: {0, 1, 3, 5, 7, 8, 9}
1.4.映射系列（映射、像、定义域和值域、满单射、双射、逆映射、线性映射等）¶
<https://www.cnblogs.com/dotnetcrazy/p/9294292.html#1.4.映射系列（映射、像、定义域和值域、满单射、双射、逆映射、线性映射等）>

这个系列应该是高一的知识

1.映射与像 <https://baike.baidu.com/item/映射> ：¶
<https://www.cnblogs.com/dotnetcrazy/p/9294292.html#1.映射与像-：>

设A,B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y与之对应，那么就称对应的规则f
为从集合A到集合B的映射一般这样表示：f：A → B。其中，y称为元素x在映射f下的像，记作：y=f(x)。

通俗讲：

把使集合A的元素与集合B的元素相对应的规则叫做 “集合A到集合B的映射”

如果从A集合中取元素x，通过f得到其对应B集合的元素y。这个新的元素就叫做：“x通过映射f形成的像”

像这个说的还是有点抽象，举个简单的例子：

高中的时候经常做这样的练习：f(x)=2x+1

用映射来解释就是：“映射 f 是使集合B的元素 2x+1 与集合A的元素 x 相对应的规则” 再解释像就简单了：f(2)

x=2 通过 f 形成的像是 2*2+1

2.值域和定义域：¶ <https://www.cnblogs.com/dotnetcrazy/p/9294292.html#2.值域和定义域：>

我们把映像f产生的值组成一个集合{f(0)、f(1)、f(2)...}，这个集合就叫做“映像f的值域”。

而x值组成的集合 {0、1、2...} 就叫做“映像f的定义域”。

这个值域的集合往往是集合B的子集：$\lbrace f(x_1)，f(x_2)...f(x_n)\rbrace \subseteq B$

比如说：f(x)=2x+1 定义域A{0、1、2、3}，那么求出来的值域是：{1、3、5、7}，而B集合是{1、3、5、7、8}

3.满射、单射、双射：¶ <https://www.cnblogs.com/dotnetcrazy/p/9294292.html#3.满射、单射、双射：>

满射 <https://baike.baidu.com/item/满射>：如果值域任何元素都有至少有一个变量与之对应，那这个映射就叫做满射。

来个示意图：f(x)=x$^2$ 其实老版本的教科书还有一种说法叫做：”当映射f的值域等于集合B时，f为满射“

单射 <https://baike.baidu.com/item/单射>
：设f是由集合A到集合B的映射，如果所有x,y∈A,且x≠y，都有f(x)≠f(y),则称f为由A到B的单射
（函数f被称为是单射时，对每一值域内的y，存在至多一个定义域内的x使得f(x) = y）

来个图示：（两种情况都是）

双射 <https://baike.baidu.com/item/双射> (一一映射)：既是单射又是满射的映射称为双射

图示：（偷个懒，拿上面的图片改改）

4.逆映射：¶ <https://www.cnblogs.com/dotnetcrazy/p/9294292.html#4.逆映射：>

这次先不定义，先看个图：

看完图基本上懂了（映射g就是映射f的逆映射），现在来定义一下：

逆映射 <https://baike.baidu.com/item/逆映射> :

当f是双射（一一对应的单射）并且映射f和映射g满足：

* g(f(x))=x
* f(g(x))=x
那么映射g就是映射f的逆映射，表示方式：$f^{-1}:B\rightarrow A$

5.线性映射¶ <https://www.cnblogs.com/dotnetcrazy/p/9294292.html#5.线性映射>

后面说线性回归之类的代码和数学知识时会讲，这边因为也是属于映射内容，所以简单提一下定义：

假设 $x_1$ 和 $x_2$ 是属于A集合中的任意元素，c 为任意实数，f 为从A到B的映射。

当映射f满足以下两个条件：

* $f(x_1)+f(x_2)=f(x_1+x_2)$
* $cf(x_1)=f(cx_1)$
那么映射f就是从A到B的线性映射

举个例子：f(x)=x 验证一下：是线性映射

$f(x_1)+f(x_2)=x_1+x_2=f(x_1+x_2)$

$cf(x_1)=cx_1=f(cx_1)$

再测试一个不是的：f(x)=x+1 验证一下：

$f(x_1)+f(x_2)=x_1+x_2+2$

$f(x_1+x_2)=x_1+x_2+1$

$f(x_1)+f(x_2)\neq f(x_1+x_2)$

后面都不用验证了，不是线性映射

1.5.排列组合¶ <https://www.cnblogs.com/dotnetcrazy/p/9294292.html#1.5.排列组合>

这个应该是高二的时候学的，简单提一下

排列组合 <http://www.baike.com/wiki/排列组合> ：

* 排列：从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序
* 组合：从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序
通俗讲：

组合个数：“从n个中挑出r个的个数” 一般用 $C^r_n$ 来表示(n>=r)

$\Large {C^r_n=\frac{n!}{r!(n-r)!}}$

排列个数：“从n个中挑出r个的个数，然后再把选好的r个事物按照顺序排列的种数” 一般用 $A^r_n$ 来表示(n>=r)

$\Large {A^r_n=r!C^r_n=\frac{n!}{(n-r)!}}$

如果还抽象的话，我们来看个案例：

小明请小潘和小张一起去食堂吃饭，食堂今天总共有5个菜

1.试问，他们从5个菜中选出3个不同的菜，有几种可能性？

假设有A、B、C、D、E这5个菜，那选出3个有如下组合(不管顺序)：

列举列举列举列举列举列举
ABC ABD ABE ACD ACE ADE
BCD BCE BDE
CDE
$\large {C^3_5=\frac{5!}{3!(5-3)!}=\frac{5×4×3×2×1}{3×2×1×2×1}=10}$

2.试问，选出的这3个菜有几种排放顺序？

假设选出的是A、B、C这3个菜，那它的排序有几种可能：

序号列举列举
A ABC ACB
B BAC BCA
C CAB CBA
其实无论选择哪3种，他们的排序都是6种，3!=3×2×1=6

简单分析一下：

第一道菜可以在已经选好的菜里面选1个，那就是3种可能

第二道菜可以在剩下的2道菜中选1个，那就是2种可能（第一道刚才选好了，已经算确定的了）

第三道菜不用选了，因为现在只剩下1道了，那就是1种可能

所以有 3×2×1种可能==>3!=6种可能

3.试问，从5个菜中选出3个不同的菜，并按顺序打包带走总共有多少种可能？

排列的个数其实就是：5选3组合个数 × 3道菜可能的排序 = 10 × 6 =60

$\large {A^3_5=\frac{5!}{(5-3)!}=\frac{5×4×3×2×1}{2×1}=60}$

简单分析推导一下：

第一个菜可以在5道菜里面选一个，那就是5种可能

第二道菜可以在剩下的4道菜里面选一个，那就是4种可能

第三道菜可以在剩下的3道菜里面选一个，那就是3种可能

那总共可能性就是：5×4×3=60种可能性，和上面公式计算一样结果

排列、组合、二项式定理公式口诀：
加法乘法两原理，贯穿始终的法则。与序无关是组合，要求有序是排列。两个公式两性质，两种思想和方法。归纳出排列组合，应用问题须转化。
排列组合在一起，先选后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考虑。不重不漏多思考，捆绑插空是技巧。排列组合恒等式，定义证明建模试。
关于二项式定理，中国杨辉三角形。两条性质两公式，函数赋值变换式。
1.5.高中函数附录¶ <https://www.cnblogs.com/dotnetcrazy/p/9294292.html#1.5.高中函数附录>

以前在网上找的资料，你们有更好的可以贴一下（点我查看
<https://images2018.cnblogs.com/blog/1127869/201807/1127869-20180711145233865-73813447.jpg>
）

1.6.高中数学公式¶ <https://www.cnblogs.com/dotnetcrazy/p/9294292.html#1.6.高中数学公式>

以前在网上找的资料，你们有更好的可以贴一下（点我查看
<https://images2018.cnblogs.com/blog/1127869/201807/1127869-20180711145259237-1641669287.jpg>
）

2.矩阵预告¶ <https://www.cnblogs.com/dotnetcrazy/p/9294292.html#2.矩阵预告>

下次和Numpy一起讲，这样才会～数学不枯燥，代码不空洞

热门工具换一换